Partielle Ableitung 1.Ordnung Beispiel Essay

Betrachtet man analog die Funktion f für ein konstantes , so erhält man jetzt eine Funktion mit der unabhängigen Variablen y. Den Grenzwert

nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion nach y an der Stelle .

Zusammenfassung:
Ist eine Funktion für ein konstantes an einer Stelle differenzierbar, so heißt dort partiell nach x differenzierbar. Die dazugehörige Ableitung wird partielle Ableitung von f nach x an der Stelle genannt.
Entsprechend heißt die Funktion partiell nach y differenzierbar, wenn sie für ein konstantes an einer Stelle nach y differenzierbar ist. Die dazugehörige Ableitung wird partielle Ableitungvon f nach y an der Stelle genannt.

Anmerkungen:
Ist die Funktion für jedes x bzw. y des Definitionsbereichs partiell nach x bzw. y differenzierbar, so spricht man schlechthin von den partiellen Ableitungen nach x bzw. y und schreibt bzw. .
In Analogie zu schreibt man für bzw. auch
und spricht von der partiellen Ableitung von f nach xbzw. von f nach y.

Für die Bildung der partiellen Ableitungen erster Ordnung lassen sich sämtliche Ableitungsregeln einer Funktion mit einer unabhängigen Variablen übertragen, wenn man jeweils beachtet, welche Variable im betreffenden Zusammenhang die unabhängige ist.

Beispiel 1: Gesucht sind die partiellen Ableitungen der Funktion

y wird als konstant angesehen:
x wird als konstant angesehen:

Beispiel 2: Gesucht sind die partiellen Ableitungen der Funktion

y wird als konstant angesehen – wir erhalten eine Potenzfunktion:
x wird als konstant angesehen – wir erhalten eine Exponentialfunktion: .

Geometrische Deutung der partiellen Ableitung

Eine Funktion von zwei Variablen beschreibt im Allgemeinen eine Fläche im Raum.

Möchte man eine stetige Funktion $ z = f(x,y)$ mit zwei unabhängigen Variablen $ x, y $ partiell differenzieren, so muss man eine der Variablen konstant halten und die andere differenzieren. Dies gilt für $ x $ und auch für $ y $.

  • Mit $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $
    erhält man die Partielle Ableitungerster Ordnung nach $x$,

    In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt.

  • Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $
    erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$.

    In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt.

Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. 

Hier klicken zum Ausklappen Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$:

$\ z = 3x^2 - 4xy + 3y^3 $

Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ x$ ist : $\frac{\partial z}{\partial x} = 6x - 4y $.

Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ y$ ist : $\frac{\partial z}{\partial y} = - 4x + 9y^2 $.

Hier klicken zum Ausklappen Da bei der partiellen Ableitung nach $\ x$ die Therme ohne $\ x$ als Konstanten gelten, fallen sie beim Ableiten einfach direkt weg (sofern diese kein $x$ beinhalten). Gleiches gilt im umgekehrten Fall.

Video: Partielle Ableitung erster Ordnung

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